Exponentiellt Vägda Glidande Medelvärde Riskmetrics

GARCH och EWMA 21 maj 2010 av David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Jämför, kontrast och beräkna parametriska och icke parametriska tillvägagångssätt för uppskattning av villkorlig volatilitet 8230 Inklusive: GARCH APPROACH Inklusive: EXPONENTIAL SMOOTHING (EWMA) Exponentiell utjämning (villkorlig parametrisk) Moderna metoder lägger större vikt vid ny information. Både EWMA och GARCH lägger större vikt vid ny information. Dessutom, eftersom EWMA är ett speciellt fall av GARCH, utnyttjar både EWMA och GARCH exponentiell utjämning. GARCH (p, q) och i synnerhet GARCH (1, 1) GARCH (p, q) är en allmän autoregressiv villkorad heteroskedastisk modell. Viktiga aspekter är: Autoregressive (AR). tomorrow8217s varians (eller volatilitet) är en regressionsfunktion av today8217s variance8212it regresserar sig själv Conditional (C). tomorrow8217s varians beror8212 är villkorat på8212 den senaste variansen. En ovillkorlig varians skulle inte bero på today8217s varians Heteroskedastic (H). variationer är inte konstanta, de fluxar över tiden GARCH regressar på 8220lagged8221 eller historiska termer. De försenade termerna är antingen varians eller kvadrerade avkastningar. Den generiska GARCH-modellen (p, q) regrar på (p) kvadrerade avkastningar och (q) variationer. Därför GARCH (1, 1) 8220lags8221 eller regrar på den senaste perioden8217s kvadrerade retur (dvs bara 1 retur) och sista perioden8217s varians (dvs bara 1 varians). GARCH (1, 1) ges av följande ekvation. Samma GARCH (1, 1) formel kan ges med grekiska parametrar: Hull skriver samma GARCH ekvation som: Den första termen (gVL) är viktig eftersom VL är den långsiktiga genomsnittliga variansen. Därför är (gVL) en produkt: det är den viktade långsiktiga genomsnittliga variansen. GARCH (1, 1) modellen löser för villkorlig varians som en funktion av tre variabler (tidigare varians, tidigare return2 och långvarig varians): Persistence är en funktion inbäddad i GARCH-modellen. Tips: I ovanstående formler är persistens (b c) eller (alfa-1 beta). Persistens hänvisar till hur snabbt (eller långsamt) variansen återgår eller 8220decays8221 mot dess långsiktiga medelvärde. Hög uthållighet motsvarar långsam förfall och långsam 8220regression mot medel8221 låg persistens motsvarar snabb fördröjning och snabb 8220reversion till medelvärdet.8221 En persistens av 1,0 innebär ingen genomsnittsbackning. En persistens på mindre än 1,0 innebär 8220-omvandling till medelvärdet, 8221 där en lägre persistens innebär större återgång till medelvärdet. Tips: Som ovan är summan av vikterna som tilldelas den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen persistens (bc persistens). En hög persistens (större än noll men mindre än en) innebär långsam omgång till medelvärdet. Men om vikterna som tilldelas den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen är större än en, är modellen icke-stationär. Om (bc) är större än 1 (om bc gt 1) är modellen icke-stationär och, enligt Hull, instabil. I vilket fall föredras EWMA. Linda Allen säger om GARCH (1, 1): GARCH är både 8220compact8221 (dvs relativt enkel) och anmärkningsvärt exakt. GARCH-modellerna dominerar i vetenskaplig forskning. Många variationer av GARCH-modellen har försökt, men få har förbättrats på originalet. Nackdelen med GARCH-modellen är dess nonlinearitet sic Till exempel: Lös för långvarig varians i GARCH (1,1) Tänk på GARCH (1, 1) ekvation nedan: Antag att: alfaparametern 0,2, beta-parametern 0,7, och notera att omega är 0,2 men don8217t misstänker omega (0,2) för den långvariga variansen Omega är en produkt av gamma och den långvariga variansen. Så, om alpha beta 0.9 måste gamma vara 0,1. Med tanke på att omega är 0,2 vet vi att den långsiktiga variansen måste vara 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mer notationsskillnad mellan Hull och Allen EWMA är ett speciellt fall av GARCH (1,1) och GARCH (1,1) är ett generaliserat fall av EWMA. Den stora skillnaden är att GARCH innehåller ytterligare termen för genomsnittlig reversering och EWMA saknar en genomsnittlig reversion. Så här kommer vi från GARCH (1,1) till EWMA: Sedan låt vi 0 och (bc) 1, så att ovanstående ekvation förenklas till: Detta motsvarar nu formeln för exponentiellt vägt rörligt medelvärde (EWMA): I EWMA bestämmer lambda-parametern nu 8220decay: 8221 en lambda som ligger nära en (hög lambda) uppvisar långsamt sönderfall. RiskMetricsTM Approach RiskMetrics är en märkesform av exponentialvägt rörligt medelvärde (EWMA): Den optimala (teoretiska) lambda varierar efter tillgångsklass, men den övergripande optimala parametern som används av RiskMetrics har varit 0.94. I praktiken använder RiskMetrics endast en nedbrytningsfaktor för alla serier: 183 0,94 för dagliga data 183 0,97 för månadsdata (månad definierad som 25 handelsdagar) Tekniskt sett är dagliga och månatliga modeller inkonsekventa. De är dock båda lätta att använda, de approximerar beteendet hos faktiska data ganska bra, och de är robusta till misspecifikation. Obs! GARCH (1, 1), EWMA och RiskMetrics är parametriska och rekursiva. Rekursiva EWMA-fördelar och nackdelar med MA (dvs STDEV) vs GARCH Grafisk sammanfattning av parametriska metoder som tilldelar mer vikt till senaste avkastning (GARCH amp EWMA) Sammanfattningstips: GARCH (1, 1) är generaliserade RiskMetrics och omvänt är RiskMetrics begränsat fall av GARCH (1,1) där en 0 och (bc) 1. GARCH (1, 1) ges av: De tre parametrarna är vikter och därför måste summa till en: Tips: Var försiktig med första termen i GARCH (1, 1) ekvation: omega () gamma () (genomsnittlig långvarig varians). Om du uppmanas till variansen kan du behöva dela upp vikten för att beräkna den genomsnittliga variansen. Bestäm när och huruvida en GARCH - eller EWMA-modell ska användas i volatilitetsuppskattning I praktiken tenderar variansräntorna att vara genomsnittliga, därför är GARCH (1, 1) modellen teoretiskt överlägsen (8220 mer tilltalande än8221) till EWMA-modellen. Kom ihåg att that8217s är den stora skillnaden: GARCH lägger till parametern som väger det långsiktiga genomsnittet och innehåller därför genomsnittsbackning. Tips: GARCH (1, 1) är att föredra om inte den första parametern är negativ (vilket är underförstått om alfa beta gt 1). I detta fall är GARCH (1,1) instabil och EWMA är föredragen. Förklara hur GARCH-uppskattningarna kan ge prognoser som är mer exakta. Det rörliga medlet beräknar varians baserat på ett efterföljande fönster av observationer, t. ex. de föregående tio dagarna, de föregående 100 dagarna. Det finns två problem med glidande medelvärdet (MA): Ghosting-funktionen: Volatilitetschocker (plötsliga ökningar) inkorporeras plötsligt i MA-metriska och då, när bakfönstret passerar, faller de brått från beräkningen. På grund av detta kommer MA-metriska att skifta i förhållande till den valda fönsträngden. Trendinformation är inte inkorporerad. GARCH-uppskattningar förbättrar dessa svagheter på två sätt: Nyare observationer har tilldelats större vikt. Detta övervinner spöken eftersom en volatilitetschock omedelbart kommer att påverka uppskattningen men dess inflytande kommer att blekna gradvis när tiden går. En term läggs till för att införliva reversion till medelvärdet. Förklara hur uthållighet är relaterad till återgången till medelvärdet. GARCH (1, 1) ekvation: Persistens ges av: GARCH (1, 1) är instabilt om persistensen gt 1. En persistens av 1,0 indikerar ingen genomsnittlig reversion. En låg persistens (t ex 0,6) indikerar snabbt förfall och hög reversering till medelvärdet. Tips: GARCH (1, 1) har tre vikter som tilldelas tre faktorer. Persistens är summan av vikterna som tilldelas både den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen. Den andra vikten tilldelas den långvariga variansen. Om P-persistens och G-vikt tilldelas långvarig varians, då PG 1. Därför är P (persistens) hög, då G (medelbackning) låg: den ihållande serien är inte starkt medelvärdet återgår den uppvisar 8220slow decay8221 mot betyda. Om P är låg måste G vara hög: den impersistenta serien betyder starkt att den återgår, den uppvisar 8220rapid decay8221 mot medelvärdet. Den genomsnittliga, ovillkorliga variansen i GARCH (1, 1) modellen ges av: Förklara hur EWMA systematiskt rabatterar äldre data och identifiera RiskMetrics174 dagliga och månatliga förfallsfaktorer. Det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA) ges av: Ovanstående formel är en rekursiv förenkling av 8220true8221 EWMA-serien som ges av: I EWMA-serien är varje vikt som tilldelats kvadrerade returer ett konstant förhållande av föregående vikt. Specifikt är lambda (l) förhållandet mellan närliggande vikter. På så sätt diskuteras äldre data systematiskt. Den systematiska rabatten kan vara gradvis (långsam) eller abrupt, beroende på lambda. Om lambda är hög (t ex 0,99), är diskonteringen mycket gradvis. Om lambda är låg (t ex 0,7) är diskonteringen mer abrupt. RiskMetrics TM sönderfallsfaktorer: 0,94 för dagliga data 0,97 för månadsdata (månad definierad som 25 handelsdagar) Förklara varför prognostiseringskorrelationer kan vara viktigare än prognosvolatiliteter. Vid mätning av portföljrisk kan korrelationer vara viktigare än enskilda instrumentvolatilitetsvarianter. I samband med portföljrisk kan en korrelationsprognos därför vara viktigare än prognoserna för enskilda volatilitetsprognoser. Använd GARCH (1, 1) för att prognostisera volatiliteten Den förväntade framtida variansgraden, i (t) perioder framåt, ges av: Antag exempelvis att en nuvarande volatilitetsuppskattning (period n) ges av följande GARCH (1, 1) ) ekvation: I det här exemplet är alfabetet den vikt (0,1) som tilldelats den föregående kvadrerade avkastningen (den tidigare avkastningen var 4), beta är vikten (0.7) tilldelad den tidigare variansen (0.0016). Vad är den förväntade framtida volatiliteten, om tio dagar (n 10) Först lösa lösningen på lång sikt. Det är inte 0.00008 denna term är produkten av variansen och dess vikt. Eftersom vikten måste vara 0,2 (1 - 0,1-0,7), den långa variationen 0.0004. För det andra behöver vi nuvarande varians (period n). Det är nästan givet till oss ovan: Nu kan vi tillämpa formeln för att lösa den förväntade framtida variansräntan: Det här är den förväntade variansräntan, så den förväntade volatiliteten är cirka 2,24. Lägg märke till hur det här fungerar: den nuvarande volatiliteten är cirka 3,69 och den långsiktiga volatiliteten är 2. Den 10-dagars framåtprojektionen 8220fades8221 den nuvarande hastigheten närmare den långa räntan. Nonparametric Volatility ForecastingExploring Den exponentiellt viktad Flytta genomsnittlig volatilitet är den vanligaste riskmåtten, men den kommer i flera smaker. I en tidigare artikel visade vi hur man beräkna enkel historisk volatilitet. (För att läsa den här artikeln, se Använd volatilitet för att mäta framtida risk.) Vi använde Googles faktiska aktiekursdata för att beräkna den dagliga volatiliteten baserat på 30 dygns lagerdata. I den här artikeln kommer vi att förbättra den enkla volatiliteten och diskutera exponentialvägt rörligt medelvärde (EWMA). Historisk Vs. Implicit Volatilitet Först, låt oss sätta denna mätning i en bit av perspektiv. Det finns två breda tillvägagångssätt: historisk och underförstådd (eller implicit) volatilitet. Det historiska tillvägagångssättet förutsätter att förflutet är en prolog som vi mäter historia i hopp om att det är förutsägbart. Implicit volatilitet å andra sidan ignorerar historien som den löser för volatiliteten implicerad av marknadspriser. Det hoppas att marknaden vet bäst och att marknadspriset innehåller, även om det implicit är, en konsensusuppskattning av volatiliteten. (För relaterad läsning, se Användning och gränser för volatilitet.) Om vi ​​fokuserar på bara de tre historiska tillvägagångssätten (till vänster ovan), har de två steg gemensamt: Beräkna serien av periodisk avkastning Använd ett viktningsschema Först vi beräkna den periodiska avkastningen. Det är typiskt en serie av dagliga avkastningar där varje avkastning uttrycks i fortlöpande sammansatta termer. För varje dag tar vi den naturliga loggen av förhållandet mellan aktiekurserna (det vill säga priset idag fördelat på pris igår, och så vidare). Detta ger en serie dagliga avkastningar, från dig till jag i-m. beroende på hur många dagar (m dagar) vi mäter. Det får oss till det andra steget: Det är här de tre metoderna skiljer sig åt. I den föregående artikeln (Använd volatilitet för att mäta framtida risker) visade vi att enligt enkla acceptabla förenklingar är den enkla variansen genomsnittet av de kvadrerade avkastningarna: Observera att summan av varje periodisk avkastning delar upp den totala av antal dagar eller observationer (m). Så det är verkligen bara ett genomsnitt av den kvadrerade periodiska avkastningen. Sätt på ett annat sätt, varje kvadrerad retur ges lika vikt. Så om alfa (a) är en viktningsfaktor (specifikt en 1m) ser en enkel varians något ut så här: EWMA förbättras på enkel varians Svagheten i denna metod är att alla avkastningar tjänar samma vikt. Yesterdays (väldigt ny) avkastning har inte mer inflytande på variansen än förra månaden tillbaka. Detta problem fastställs med hjälp av det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA), där senare avkastning har större vikt på variansen. Det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA) introducerar lambda. som kallas utjämningsparametern. Lambda måste vara mindre än en. Under det förhållandet, i stället för lika vikter, vägs varje kvadrerad avkastning med en multiplikator enligt följande: RiskMetrics TM, ett finansiellt riskhanteringsföretag, tenderar till exempel att använda en lambda på 0,94 eller 94. I det här fallet är den första ( senaste) kvadratiska periodiska avkastningen vägs av (1-0,94) (.94) 0 6. Nästa kvadrerade retur är helt enkelt en lambda-multipel av den tidigare vikten i detta fall 6 multiplicerat med 94 5,64. Och den tredje föregående dagens vikt är lika med (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Det är betydelsen av exponentiell i EWMA: varje vikt är en konstant multiplikator (dvs lambda, som måste vara mindre än en) av den tidigare dagens vikt. Detta säkerställer en varians som är viktad eller förspänd mot senare data. (Mer information finns i Excel-kalkylbladet för Googles volatilitet.) Skillnaden mellan helt enkelt volatilitet och EWMA för Google visas nedan. Enkel volatilitet väger effektivt varje periodisk avkastning med 0,196 som visas i kolumn O (vi hade två års daglig aktiekursdata, det vill säga 509 dagliga avkastningar och 1509 0,196). Men märker att kolumn P tilldelar en vikt av 6, sedan 5,64, sedan 5,3 och så vidare. Det är den enda skillnaden mellan enkel varians och EWMA. Kom ihåg: När vi summerar hela serien (i kolumn Q) har vi variansen, vilket är kvadraten av standardavvikelsen. Om vi ​​vill ha volatilitet, måste vi komma ihåg att ta kvadratroten av den variansen. Vad är skillnaden i den dagliga volatiliteten mellan variansen och EWMA i Googles fall? Det är viktigt: Den enkla variansen gav oss en daglig volatilitet på 2,4 men EWMA gav en daglig volatilitet på endast 1,4 (se kalkylbladet för detaljer). Uppenbarligen avtog Googles volatilitet mer nyligen, därför kan en enkel varians vara konstant hög. Dagens Varians är en funktion av Pior Days Variance Du märker att vi behövde beräkna en lång serie exponentiellt sjunkande vikter. Vi brukar inte göra matematiken här, men en av EWMA: s bästa egenskaper är att hela serien reduceras bekvämt till en rekursiv formel: Rekursiv betyder att dagens variansreferenser (det vill säga är en funktion av den tidigare dagens varians). Du kan också hitta denna formel i kalkylbladet, och det ger exakt samma resultat som longhandberäkningen. Det står: Dagens varians (under EWMA) motsvarar ysterdays variance (viktad av lambda) plus ysterdays kvadrerade retur (vägd av en minus lambda). Lägg märke till hur vi bara lägger till två termer tillsammans: Vardagens viktade varians och gårdagens viktiga, kvadrerade retur. Ändå är lambda vår utjämningsparameter. En högre lambda (t ex som RiskMetrics 94) indikerar långsammare sönderfall i serien - relativt sett kommer vi att ha fler datapunkter i serien och de kommer att falla av långsammare. Å andra sidan, om vi reducerar lambda, indikerar vi högre sönderfall: vikterna faller av snabbare och som ett direkt resultat av det snabba förfallet används färre datapunkter. (I kalkylbladet är lambda en ingång, så du kan experimentera med sin känslighet). Sammanfattning Volatilitet är den aktuella standardavvikelsen för ett lager och den vanligaste riskvärdet. Det är också kvadratrot av varians. Vi kan måle variationen historiskt eller implicit (underförstådd volatilitet). När man mäter historiskt är den enklaste metoden enkel varians. Men svagheten med enkel varians är alla avkastningar får samma vikt. Så vi står inför en klassisk avvägning: vi vill alltid ha mer data, men ju mer data vi har desto mer beräknas vår beräkning utspädd av avlägsna (mindre relevanta) data. Det exponentiellt viktade glidande genomsnittet (EWMA) förbättras på enkel varians genom att tilldela vikter till periodisk avkastning. Genom att göra detta kan vi båda använda en stor urvalsstorlek men ge också större vikt till nyare avkastningar. (För att se en filmhandledning om detta ämne, besök Bionic Turtle.) Beta är ett mått på volatiliteten eller systematisk risk för en säkerhet eller en portfölj i jämförelse med marknaden som helhet. En typ av skatt som tas ut på kapitalvinster som uppkommit av individer och företag. Realisationsvinster är vinsten som en investerare. En order att köpa en säkerhet till eller under ett angivet pris. En köpgränsorder tillåter näringsidkare och investerare att specificera. En IRS-regel (Internal Revenue Service) som tillåter utbetalningar från ett IRA-konto på ett strafffritt sätt. Regeln kräver det. Den första försäljningen av lager av ett privat företag till allmänheten. IPOs utfärdas ofta av mindre, yngre företag som söker. Skuldkvotskvoten är skuldkvoten som används för att mäta ett företags ekonomiska hävstångseffekt eller en skuldkvot som används för att mäta en individ. EWMA-tillvägagångssättet har en attraktiv funktion: det kräver relativt lite lagrad data. För att uppdatera vår uppskattning när som helst behöver vi bara en tidigare uppskattning av variansräntan och det senaste observationsvärdet. Ett sekundärt mål för EWMA är att spåra förändringar i volatiliteten. För små värden påverkar de senaste observationerna uppskattningen omedelbart. För värden närmare en beräknas beräkningen långsamt baserat på senaste förändringar i avkastningen för den underliggande variabeln. RiskMetrics-databasen (producerad av JP Morgan och publicerad tillgänglig) använder EWMA för uppdatering av den dagliga volatiliteten. VIKTIGT: EWMA-formuleringen antar inte en långvarig medelvarianivå. Konceptet om volatilitet betyder att omvändning inte fångas av EWMA. ARCHGARCH-modellerna är bättre lämpade för detta ändamål. Ett sekundärt mål för EWMA är att spåra förändringar i volatiliteten, så för små värden påverkar den senaste observationen uppskattningen snabbt och för värden närmare en ändras uppskattningen långsamt till de senaste förändringarna i avkastningen för den underliggande variabeln. RiskMetrics-databasen (tillverkad av JP Morgan) och offentliggjord tillgänglig 1994, använder EWMA-modellen för uppdatering av den dagliga volatilitetsberäkningen. Företaget fann att över en rad marknadsvariabler, ger detta värde en prognos om variansen som kommer närmast realiserad variansränta. De realiserade variansräntorna på en viss dag beräknades som ett lika viktat genomsnitt på de följande 25 dagarna. På samma sätt, för att beräkna det optimala värdet av lambda för vår dataset, måste vi beräkna den realiserade volatiliteten vid varje punkt. Det finns flera metoder, så välj en. Därefter beräkna summan av kvadrerade fel (SSE) mellan EWMA uppskattning och realiserad volatilitet. Slutligen minimera SSE genom att variera lambda-värdet. Låter enkelt Det är. Den största utmaningen är att komma överens om en algoritm för att beräkna realiserad volatilitet. Till exempel valde personerna på RiskMetrics de följande 25 dagarna för att beräkna realiserad variansgrad. I ditt fall kan du välja en algoritm som utnyttjar dagliga volymen, HILO andor OPEN-CLOSE-priser. Q 1: Kan vi använda EWMA för att estimera (eller prognostisera) volatiliteten mer än ett steg före EWMA-volatilitetsrepresentationen antar inte en långsiktig genomsnittlig volatilitet och sålunda, för varje prognoshorisont utöver ett steg, returnerar EWMA en konstant värde: Beräkna historisk volatilitet Använda EWMA Volatilitet är den mest använda riskmåtten. Volatiliteten i den meningen kan antingen vara historisk volatilitet (en observerad från tidigare data) eller det kan innebära volatilitet (observeras från marknadspriserna på finansiella instrument.) Den historiska volatiliteten kan beräknas på tre sätt, nämligen: Enkel volatilitet, Exponentiellt vägt rörelse Medelvärde (EWMA) GARCH En av de största fördelarna med EWMA är att den ger större vikt vid den senaste avkastningen när man räknar avkastningen. I den här artikeln kommer vi att titta på hur volatiliteten beräknas med hjälp av EWMA. Så får vi komma igång: Steg 1: Beräkna loggaregistrering i prisserien Om vi ​​tittar på aktiekurserna kan vi beräkna den dagliga lognormala avkastningen med formeln ln (P i P i -1), där P representerar var och en dagar stänger börskurs. Vi behöver använda den naturliga loggen eftersom vi vill att avkastningen ska fortlöpas samman. Vi kommer nu få dagliga avkastningar för hela prisserien. Steg 2: Kvadrera avkastningen Nästa steg är att ta torget med långa avkastningar. Detta är faktiskt beräkningen av enkel varians eller volatilitet representerad av följande formel: Här representerar du avkastningen, och m representerar antalet dagar. Steg 3: Tilldela vikter Tilldela vikter så att den senaste tiden har högre vikt och äldre avkastningar har mindre vikt. För detta behöver vi en faktor som heter Lambda (), vilket är en utjämningskonstant eller den vidhållande parametern. Vikten anges som (1) 0. Lambda måste vara mindre än 1. Riskmåttet använder lambda 94. Den första vikten kommer att vara (1-0.94) 6, den andra vikten blir 60,94 5,64 och så vidare. I EWMA summerar alla vikter till 1, men de sjunker med ett konstant förhållande på. Steg 4: Multiplicera Returer-Kvadrerade Med Vikten Steg 5: Ta summeringen av R 2 w Det här är den slutliga EWMA-variansen. Volatiliteten blir kvadratroten av variansen. Följande skärmdump visar beräkningarna. Ovanstående exempel som vi såg är den metod som beskrivs av RiskMetrics. Den generaliserade formen av EWMA kan representeras som följande rekursiva formel: